RELASI ANTAR DUA HIMPUNAN

DISUSUN

OLEH:

MAHRIFAT ISMAIL

451417011

KELAS A

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GEOGRAFI

JURUSAN ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO

2018

KATA PENGANTAR

Syukur alhamdulillah, merupakan satu kata yang sangat pantas penulis ucakan kepada Allah SWT, yang karena bimbingannyalah maka penulis bisa menyelesaikan sebuah makalah tentang ”RELASI ANTAR DUA HIMPUNAN”

Makalah ini dibuat dengan berbagai observasi di beberapa reverensi dan waktu tertentu sehingga menghasilkan karya yang bisa dipertanggung jawabkan hasilnya. Saya mengucapkan terima kasih kepada pihak terkait yang telah membantu saya dalam menghadapi berbagai tantangan dalam penyusunan makalah ini. Saya menyadari bahwa masih sangat banyak kekurangan yang mendasar pada makalah ini. Oleh karna itu saya mengundang pembaca untuk memberikan kritik dan saran yang bersifat membangun untuk kemajuan ilmu pengetahuan ini. Terima kasih, dan semoga makalah ini bisa memberikan sumbangsih positif bagi kita semua.

Penulis,

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL……………………………………………………………………………………

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Tujuan

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Relasi Antar Dua Himpunan

2.2 Cara Menyatakan Relasi Antar Aua Himpunan

2.2.1 Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

2.2.2 Dengan diagram panah

2.2.3 Diagram kartesius

2.3 Banyaknya Relasi Antar Dua Himpunan

2.4 Macam-Macam Relasi

2.4.1 Relasi Invers

2.4.2 Relasi Refleksif

2.4.3 Relasi Simetrik

2.4.4 Relasi Transitif

2.4.5 Relasi Ekivalen

2.5 Relasi Ekivalen dan Partisi

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan

3.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Relasi (hubungan) dapat terjadi antara anggota dari dua himpunan. Misalnya, A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6, 7}. Antara anggota himpunan A dan B ada relasi “tiga kurangnya dari”. Relasi tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram sbb:

Relasi antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:{(1,4), (2,5), (3,6), (4, 7)}

Relasi antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan menggunakan rumus. Misalnya anggota A dinyatakan dengan x, maka pasangannya ialah y anggota B yang dapatdirumuskan:y = x + 3

Menyatakan relasi dua himpunan dengan diagram panahDiagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan antara dua himpunan dengan disertai tanda panah. Contoh diagram panah.

Berdasarkan contoh di atas, tampak bahwa semua siswa mengikuti ekstra kurikuler bahkan ada yang mengikuti lebih dari 1 ekstra kurikuler saja.
Oleh karena itu, apabila lambang → pada gambar 1 menyatakan mengikuti ekstra kurikuler, maka kita dapat menuliskan Andre → basket, artinya Andre mengikuti ekstra kurikuler basket, Dudi → badminton, artinya Dudi mengikuti ekstra kuruikuler badminton, Tina → renang, artinya Tina mengikuti ekstra kurikuler renang, Hilda → musik, artinya Hilda mengikuti ekstra kurikuler music, dan Anton → basket dan Anton → sepak bola, artinya Anton mengikuti ekstra kurikuler basket dan Anton mengikuti ekstra kurikuler sepak bola.b. Menyatakan Relasi Dua Himpunan dengan Koordinat CartesiusDalam menyatakan relasi antara anggota dua himpunan, ada juga cara lain selain megunakan diagram panah, yaitu dengan menggunakan koordinat caertesius.
Jika kita mendengar kata “cartesius”, maka yang terlintas dipikiran kita adalah suatu bidang yang memiliki dua sumbu, yaitu sumbu tegak (vertikal) dan sumbu mendatar (horizontal).

Demikian juga pada koordinat cartesius, terdapat dua sumbu yang saling tegak lurus yaitu sumbu mendatar (horizontal) dan sumbu tegak (vertikal).

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa pengertian relasi antar dua himpunan ?

2. Bagaimana cara menyatakan relasi antar dua himpunan ?

3. Bagaimana cara menghitung banyaknya relasi antar dua himpunan ?

4. Apa saja macam-macam relasi ?

5. Bagaimana Relasi ekivalen dan partisi ?

1.3 Tujuan

1. Mahasiswa dapat memahami pengertian relasi antar dua himpunan

2. Mahasiswa dapat memahami cara menyatakan relasi antar dua himpunan

3. Mahasiswa dapat memahami cara menghitung banyaknya relasi antar dua himpunan

4. Mahasiswa dapat memahami macam-macam relasi

5. Mahasiswa dapat memahami Relasi ekivalen dan partisi

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Relasi Antar Dua Himpunan

Relasi, dalam matematika, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Relasi antara dua himpunan adalah Suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

$R_{AB} \subseteq A \times B$

Kita dapat membuat relasi antara anggota himpunan A dan himpunan B dari

kehidupan sehari-hari yang kita temukan. Contoh relasiseperti : "anak dari",

"gemar berolahraga","ibu kota dari", dsb.

Contoh :

Cecep sedang berulang tahun yang ke-15. Ia mengajak teman-temannya: Aris, Bari, Fira dan Darla pergi ke rumah makan “Aneka Sari”. Perhatikan menu yang disediakan, yaitu: soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate dan sop. Dari menu tersebut ternyata masing-masing anak tidak sama menu favoritnya.

_ Aris suka “rawon dan sop”, tetapi kali ini ia memesan rawon

_ Bari suka “soto, rawon dan gulai” , tetapi kali ini ia memesan gulai

_ Cecep suka “ sate dan nasi goreng” , namun makanan yang dipesannya adalah sate.

_ Fira memesan sate, karena ia memang hanya suka “sate” tersebut.

_ Darla anak baru jadi belum ada yang disukai, tetapi ia pesan nasi goreng

Dari peristiwa di atas Anda dapat membuat relasi antara dua himpunan, yaitu:

• Himpunan anak yang beranggotakan: Aris, Bari, Cecep, Darla dan Fira.

• Himpunan makanan yang beranggotakan: soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate dan sop

Dalam hal ini kita dapat membuat dua macam relasi dengan aturan yang berbeda, yaitu: makanankesukaannya dan makanan pesanannya

· Relasi dengan aturan “makanan kesukaannya” sebagai berikut:Aris _ rawon ; Aris _ sop ; Bari _ soto ; Bari _ rawon ; Bari _ gulai ; Cecep _ sate ;Cecep _ nasi goreng ; Fira _ sate.

· Relasi dengan aturan “ makanan pesanannya” sebagai berikut:Aris _ rawon ; Bari _ gulai ; Cecep _ sate ; Darla _ nasi goreng _ ; Fira _ sate

Catatan: tanda “_” digunakan untuk mewakili aturan relasinya, misal Aris _ sop berarti Arismakanan kesukaannya sop.

2.2 Cara Menyatakan Relasi Antar Aua Himpunan

Pada pembahasan kali ini, diperkenalkan tiga cara menyatakan relasi, yaitu:

1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

2. Dengan Diagram Panah

3. Dengan Diagram Cartesius

2.2.1 Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

Menyatakan relasi dengan himpunan pasangan berurutan dapat dilakukan dengan langkah-langkahsebagai berikut:

Langkah 1

Himpunan anak kita nyatakan sebagai himpunan A dan himpunan makanan yang disediakan olehrumah makan “Aneka Sari” kita nyatakan sebagai himpunan B.

Kita daftarkan masing-masing anggota himpunan A dan anggota himpunan B, yaitu:

A = {Aris , Bari , Cecep , Darla , Fira}

B = { soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate, sop }

Langkah 2

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x , y)

dinamakan himpunan pasangan berurutan

Kita pasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan relasi: ”makanankesukaannya” dalam bentuk (x , y) dengan x € A dan y €B

Relasi dari himpunan A ke himpunan B kita nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:

ARB = {(Aris , rawon) , (Aris , sop) , (Bari , soto) , (Bari , rawon) , (Bari , gulai) , (Cecep , sate) , (Cecep , nasi goreng) , (Fira , sate)}

2.2.2 Dengan diagram panah

Gambar di atas menunjukkan bentuk cara menyatakan relasi dengan diagram panah.

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:

o Membuat dua lingkaran atau ellips (bisa juga bangun lainnya, misalnya:

persegipanjang)untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota

himpunan B

o x €A diletakkan pada lingkaran A dan y € B diletakkan pada lingkaran B

o x dan y dihubungkan dengan anak panah

o Arah anak panah menunjukkan arah relasi

o Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

Dengan demikian langkah membuat diagram panah relasi makanan kesukaannya dari himpunan A ke himpunan B atau ditulis R : A B adalah:

2.2.3 Diagram kartesius

o Pada diagram cartesius diperlukan dua salibsumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dansumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.

o x € A diletakkan pada sumbu mendatar

o y € B diletakkan pada sumbu tegak

o Pemasangan x y ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x , y)

Sebagai contoh, pada diagram panah berikut ini, maka diagram cartesiusnya dapat di lihat di samping kanannya.

2.3 Banyaknya Relasi Antar Dua Himpunan

Misalkan :

M = { 2,4,6,8 } maka n (M) = 4

N = { a,b,c } maka n (N) =3

MxN = { 2a,2b,2c,4a,4b,4c,6a,6b,6c,8a,8b,8c }

Maka n ( MxN ) = n(M) x n(N) = 4x3 = 12

Secara umum

“ Jika R : M → N dan diketahui n(M) = p, n(N) = q maka banyaknya relasiR= 2 ^pxq-1

Contoh :

Diketahui R : T →U adalah relasi dari T ke U . Jika T= { 2,3,4,5} dan U= {4,5,6} . Hitung banyaknya relasi R tersebut !

Penyelesaian :

T= {2,3,4,5} maka n(T) = 4

U= {4,5,6} maka n(U) = 3

Banyaknya relasi R = 2^4x3-1 = 4095

2.4 Macam-Macam Relasi

2.4.1 Relasi Invers

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan R^-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ; R^-1= {(b,a) : (a,b)€R}

Contoh :

Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b}, maka R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}

merupakan suatu relasi dari A ke B.Tentukan relasi invers dari R !

Relasi invers dari R adalah ;R^-1= {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2)}

2.4.2 Relasi Refleksif

Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi.R disebut relasi refleksif, jika setiap

a€A berlaku (a,a)€R.Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap

anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri.

Contoh :

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan

R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)}

Apakah R relasi refleksif ?

R bukan relasi refleksif, sebab (2,2) tidak termasuk dalam R.

Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2),(4,4)}

maka R1merupakan relasi refleksif.

2.4.3 Relasi Simetrik

Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)∊R berlaku (b,a)∊R.

Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3} dan

R = {(1,3), (2,3), (2,4), (3,1), (4,2)}

Apakah R relasi simetrik ?

R bukan merupakan relasi simetrik, sebab (2,3)∊R tetapi (3,2)∉R.

Jika (3,2) termasuk dalam R, maka R1= {(1,3), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (4,2)}

merupakan relasi simetrik.

· Note : R disebut relasi simetrik jika dan hanya jika R = R^-1.

2.4.4 Relasi Transitif

Misalkan R suatu relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)∊R dan (b,c)∊R maka (a,c)∊R.

Dengan kata lain, Jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.

Contoh :

Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)∊R dan (a,c)∊R tetapi (b,c)∉R.

Coba dilengkapi agar R menjadi relasi transitif

R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}

2.4.5 Relasi Ekivalen

Sebuah relasi di katakan relasi ekivalensi jika mempunyai sifat refleksif, simetris, transitif .

Refleksif : a

A , maka (a,a)

Simetris : (a,b)

R, maka (b,a)

Transitif : (a,b)

R dan (b,c)

R maka (a,c)

CONTOH :

A= {1,3,5}

a) R₁ = {(1,1), (3,3),(5,5)}

R₂ = {(1,1),(1,3), (3,3), (3,5), (5,5)}

b) R₁ = {(1,1), (3,3),(5,5)}

R₂ = {(1,1,), (3,3), (5,5), (3,5), (5,3)}

c) R₁ = {(1,3), (3,1), (1,1), (3,3)}

R₂ = {(1,1), (3,3),(5,5)}

Dari contoh di atas kita akan peroleh: A = {1,3,5} → R : {(1,1), (3,3), (5,5)}.

2.5 Relasi Ekivalen dan Partisi

1) Pengertian Partisi Himpunan

Partisi : koleksi dari suatu himpunan.

Partisi Himpunan : Kumpulan himpunan- himpunan dimana semua anggota himpunan- himpunan tersebut merupakan anggota dari suatu himpunan yang lebih besar.

Misal :

B = {26,27,28,......,35}

B₁ = {26,27,28}

B₂ = {29,30,31,32}

B₃ = {33,34,35}.

Koleksi himpunan B= {B_1, B_2, B₃ } mempunyai 2 sifat :

1) B₁∪ B₂∪ B₃ = B

2) B₁ ∩B₂ = ∅, B₂∩B₃=∅ , B₁∩B₃=∅

Jadi, koleksi {B₁, B₂, B₃} merupakan partisi dari B.

2) Hubungan partisi dan relasi ekivalen

Misalkan a dan b bilangan asli , m bilangan asli, maka dikatakan a konkruen b modulo m . Ditulis a≡b ( mod.m) jika a-b = k-m dengan k bilangan bulat.

Untuk m = 2, maka :

4 kongruen 2 modulo 2 ditulis 4 ≅ 2 (mod.m)Sebab 4-2= 1(2)

2 kongruen 4 modulo 2 ditulis 2 ≅ 4 (mod.2)Sebab 2-4 = -1(2)

10 tidak kongruen 3 modulo 2 , ditulis 10 3(mod.2)Sebab 10-3 ≠ k(2) dengan k bilangan bulat.

R relasi ekivalen.

Bukti :

1. ∀ a∈E maka a ≅ a( mod.m) sebab a-a = 0(m). (sifat refleksif).

2. Jika a≅b( mod.m) maka:

a-b = k(m)

-b+a = k(m)

b-a = -k(m)

jadi, b ≅ a(mod.m) (simetris)

• 3. jika a≅b (mod.m) dan b≅c (mod.m) maka :

• a-b = k1(m)

• b-c = k2(m)

• a-c = (k1+k2)(m)

• a-c = k(m)

• jadi a≅c(mod.m) (sifat transitif)

CONTOH :

Diketahui p= himpunan bilangan asli

Relasi di dalam himpunan p didefinisikan

dengan “a ≅ b (mod.4)” dengan a,b ∈ p.

Tunjukkan bahwa p dipecah menjadi partisi.

Penyelesaian

P₁ = {x|x≅1(mod.3)} P₁ = {1,4,7,...}

P₂ = {x|x≅2 (mod.3)} P₂ = {2,5,8,...}

P₃ = {x|x≅3 (mod.3)} P₃ = { 3,6,9,...}

P₄ = {x|x≅4 (mod.3)} P₄ = { 4,1,7,...}

P₅ = {x|x≅5 (mod.3)} P₅ = { 5,2,8,...}

P₆ = {x|x≅6 ( mod.3)} P₆ = { 6,3,9,...}

Ternyata P₁=P₄=....

P₂ =P₅=.....

P₃ = P₆=.....

Perhatikan (P₁,P₂,P₃)

Jelas bahwa :

P₁∪ P₂∪ P₃ = P

P₁∪ P₂ = ∅ , P₁ ∩ P₃ = ∅, P₂ ∩ P₃ = ∅

Jadi P dipecah menjadi partisi.

Kesimpulan :

• R relasi dalam himpunan P dan R relasi ekivalen

→Himpunan P terpecah menjadi partisi.

• R relasi dalam himpunan P dan himpunan P terpecah menjadi partisi

→ Relasi R adalah relasi ekivalen.

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Berdasarkan penjelasan di atas, kami menyimpulkan bahwa suatu hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota- anggota A dengan anggota- anggota B. Cara menyatakan relasi antara dua himpunan ada tiga, yaitu dengan diagram panah, dengan himpunan pasangan berurutan, dan dengan grafik Cartesius. Sedangkan untuk mengetahui banyaknya relasi antara dua himpunan adalah jika R: A→B adalah relasi dari A ke B dan n(A) = k, n(B) = l maka banyaknya relasi R = 2kxl. Macam dari relasi, antara lain relasi refleksif, relasi simetris, relasi transitif, relasi ekivalen, dan relasi partisi. Hubungan antara relasi ekivalen dan partisi adalah jika diketahui R relasi di dalam himpunan N dan R relasi ekivalen maka himpunan N terpecah menjadi partisi; dan jika himpunan N dipecah menjadi partisi maka relasi R adalah relasi ekivalen.

3.2 Saran

Bagi pembaca disarankan supaya makalah ini dapat dijadikan sebagai media pembelajaran dalam rangka peningkatan pemahaman tentang usaha dan energi. Dan bagi penulis-penulis lain diharapkan agar makalah ini dapat dikembangan lebih lanjut guna menyempurnakan makalah yang telah dibuat sebelumnya.

DAFTAR PUSTAKA

https://www.academia.edu/upgrade?feature=searchm&trigger=mentions_overlay

https://caridokumen.com/download/makalah-relasi-antara-dua-himpunan-_5a45257db7d7bc7b7aa7bb57_pdf

Zainudin, Akina. 2001. Himpunan, Relasi, dan Fungsi. Jakarta

Widodo,S. Irisan Dua Himpunan. Jakarta.

Lampiran

1. Relasi Antar Dua Himpunan

Contoh 1

Misalnya ada empat anak yaitu Fajar, Dian, Toni, dan Nani ditanya apakah mereka gemar bermain catur, voli, atau tenis. Jawaban mereka:

Fajar dan Dian gemar bermain catur, Toni dan Nani gemar bermain voli, Fajar dan Toni gemar bermain tenis

Perhatikanlah bahwa sebenarnya ada dua himpunan :

1. Himpunan anak

A = {Fajar, Dian, Toni, Nani}

2. Himpunan permainan

B = {Catur, Voli, Tenis}

Kedua himpunan A dan B dihubungkan dengan hubungan

gemar bermain. Hubungan gemar bermain dari himpunan A ke

himpunan B dapat digambar sebagai berikut.

Suatu hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B

adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

Contoh 2

Diketahui: Cinta dan Dina suka makan Soto

Nina dan Dani suka makan Mie

Dani suka makan Bakso

Penyelesaiannya: Terdapat 2 himpunan yaitu:

A = Himpunan siswa

A = {Cinta, Dina, Dani, Nina}

B = Himpunan Makanan

B = {Soto, Mie, Bakso}

Contoh 3

Dikelas 8 SMP terdapat 4 orang siswa yang lebih menyukai pelajaran

tertentu. berikut ke-4 anak tersebut :

Ø Buyung menyukai pelajaran IPS dan Kesenian

Ø Doni menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga

Ø Vita menyukai pelajaran IPA, dan

Ø Putri lebih menyukai pelajaran matematika dan bahasa inggris

Contoh 4

Dikelas 8 SMP terdapat 4 orang siswa yang lebih menyukai pelajaran

tertentu. berikut ke-4 anak tersebut :

· Ikbal menyukai pelajaran IPA dan kewarganegaraan

· Rifat menyukai pelajaran IPS dan matematika

Contoh 5

Dikelas 8 SMP terdapat 4 orang siswa yang lebih menyukai pelajaran

tertentu. berikut ke-4 anak tersebut :

· Irma menyukai pelajaran matematika dan Kesenian

· Dandi menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga

2. Cara Menyatakan Relasi Antar Dua Himpunan

Diketahui himpunan A = {2,3,4,5}, B = {4,5,6} dengan relasi factor dari himpunan A ke himpunan B maka kita dapat menyatakan relasi tersebut dengan tiga cara yaitu:

Contoh 1

1) Dengan himpunan pasangan berurutan

Perhatikanlah gambar 1.2. 2→6 ini berarti 2 faktor dari 6 dan dapat ditulis dengan pasangan berurutan (2,6). Jika relasi factor dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R, maka jelas 2 berelasi R dengan 6 atau dapat ditulis dengan 2R6 atau (2,6) R. Dengan cara yang sama dapat dituliskan 2R4 atau (2,4) R, 3R6 atau (3,6) R, tetapi 2 tidak berelasi dengan 5 atau dapat ditulis 2 R 5 atau (2,5) ∉ R. Dengan demikian relasi R tersebut merupakan himpunan pasangan berurutan yaitu:

R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)}

Dengan cara lain dapat dijelaskan pula bahwa jika ditentukan xA dan yB maka relasi faktor dari tersebut dapat dinyatakan dengan kalimat terbuka x faktor dari y. Pengganti "x"

dengan "2" dan "y" dengan "6" didapat pernyataan yang benar, sehingga pasangan berurutan (2,6) merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka x faktor dari y. Tetapi pengganti "x" dengan "2" dan "y" dengan "5" didapat pernyataan yang salah, sehingga (2,5) bukan penyelesaian dari kalimat terbuka x factor dari y. Jika relasi faktor dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R maka himpunan semua pasangan berurutan (x,y) yang menghasilkan pernyataan yang benar yaitu himpunan penyelesaian kalimat terbuka

R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)}

Contoh 2

Diketahui M = {0,2 4,6,8}, N = {0,1,2,3,4,5}.

R: M→N adalah relasi dari M ke N dinyatakan dengan kalimat

terbuka x dua kali y dengan X M, y N. Nyatakanlah relasi tersebut:

a. dengan diagram panah

b. dengan himpunan pasangan berurutan

c. dengan grafik Cartesius

Penyelesaian:

a. dengan diagram panah

Contoh 3

Dikelas 8 SMP belajar matematika terdapat 4 orang siswa yang lebih menyukai pelajaran tertentu. berikut ke-4 anak tersebut :

· Buyung menyukai pelajaran IPS dan Kesenian

· Doni menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga

· Vita menyukai pelajaran IPA, dan

· Putri lebih menyukai pelajaran matematika dan bahasa ingris

Buatlah relasi dari soal diatas dan disajikan menggunakan diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Jawab :

Untuk mempermudah menjawab persoalan diatas gunakanlah permisalan seperti : Himpunan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, Himpunan B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke B.

Contoh 4

Ani gemar makan Bakso dan Nasi goreng

Irfan gemar makan Mie Ayam

Arman gemar makan Nasi Goreng, dan Coto

Ahmad gemar makan Ikan bakar

Ade gemar makan Bakso

Dari penyataan di atas kita dapat menentukan dua himpunan yaitu

A = (Ani, Irfan, Arman, Ahmad, Erwin)

B = (Bakso, Nasi goreng, Mie ayam, Coto, Ikan Bakar)

Dari kedua himpunan di atas dihubungkan dengan relasi himpunan A

dan himpunan B yaitu “gemar makan”.

Contoh 5

5) Dengan diagram panah

ada gambar 1.2, 2 dikawankan dengan 4 ditulis 2→4, ini berarti 2 faktor dari 4.

A. Faktor Dari

3. Banyaknya relasi antar dua himpunan

Contoh 1

Diketahui R: M→N adalah relasi dari M ke N. Jika n(M)=4

dan n(N)=3, hitunglah banyaknya relasi R tersebut.

Penyelesaian:

n(M)=4 dan n(N)=3.

Banyaknya relasi R ada = 24x3 - 1 = 4095

Contoh 2

Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal},

hitunglah banyaknya relasi tersebut

Penyelesaian:

A = {2, 3}, n(A) = 2

B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5

Banyaknya relasi R ada = 22x5 - 1 = 1023

Contoh 3

Jika A = {x|–2 < x < 2, x є Z} dan B = {x | x bilangan prima < 6},

hitunglah banyaknya relasi

Penyelesaian:

A = {x|–2 < x < 2, x є Z} = {-1, 0, 1}, n(A) = 3

B = {x | x bilangan prima < 6} = {2, 3, 5}, n(A) = 3

Banyaknya relasi R ada = 23x3 - 1 = 511

Contoh 4

A adalah himpunan bilangan prima yang kurang dari 10. Sementara diketahui B = {p, q, r}. Tentukan:
(a) banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan A ke himpunan B
(b) banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan B ke himpunan

Pembahasan
A = {2, 3, 5, 7} sehingga banyak anggota A → n(A) = 4
B = {p, q, r} sehingga banyak anggota himpunan B → n(B) = 3

(a) banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan A ke himpunan B
= 3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
(b) banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan B ke himpunan A

= 4³ = 4 x 4 x 4 = 64

Contoh 5

Diketahui A = {p, q, r, s, t} dan B = {2, 3, 5, 7, 11}. Tentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari himpunan A ke himpunan B!

Pembahasan
Korespondensi satu-satu dapat dibuat jika banyak anggota himpunan A sama dengan banyak anggota himpunan B.

Dua himpunan di atas memiliki banyak anggota yang sama yaitu 5 buah. Banyaknya korespondensi satu-satu yang dapat dibuat:
5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah

Bagaimana jika jumlah anggotanya masing-masing ada 6?
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Anggotanya 7?
7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
dst

4. Macam-macam Relasi

Contoh 1

Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi

R 1 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R 1 tersebut bersifat refleksif.

Contoh 2

Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi

R 2 = {(x,y) │x kelipatan y, x, y B}.

Maka R 2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R 2 tersebut bersifat

refleksif.

Contoh 3

Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi

R 3 = {(x,y│x + y < 10, x, y A}.

Maka R 3 ={(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4)}. Relasi

R 3 tersebut tidak bersifat refleksif.

Contoh 4

Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi

R 1 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}. Relasi R 1 tersebut

bersifat simetris.

Contoh 5

Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi

R 2 = { (x,y) │ x kelipatan y , x, y Z }

R 2 = {(2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2)}. Relasi R 2 tersebut tidak bersifat

simetris karena (4,2) R 2 tetapi (2,4) R

5. Relasi Ekivalen dan Partisi

Contoh 1

Diketahui A = {1, 2, 3}.

Pada A didefinisikan relasi R 1 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}

Relasi R 1 tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh

karena itu relasi R 1 merupakan relasi ekivalen.

Contoh 2

Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi

R 2 = { (x,y)│x kelipatan y , x, y Z } maka

R 2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R 2 tersebut tidak bersifat

simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen.

Contoh 3

Diketahui himpunan A = {0, 2, 4}, relasi R di dalam himpunan A

dengan R = {(0,0), (2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris,

dan transitif. Oleh karena itu R merupakan relasi ekivalen.

Contoh 4

Diketahui N = {x l x bilangan asli}. N1={1,5,9,17,...},

N2={2,6,10,14,...}, N3={3,7,11,15,...), N4=(4,8,12,16,...).

Apakah koleksi (N 1 , N 2 , N 3 , N 4 ) partisi dari N.

Penyelesaian:

Koleksi {N 1 , N 2 , N 3 , N 4 } mempunyai sifat:

1. N 1 N 2 N 3 N 4 = N

2. N 1 N 2 = , N 1 N 3 = , N 1 N 4 =.

N 2 N 3 =, N 2 N 4 =, dan N 3 N 4 =

Jadi koleksi {N 1 , N 2 , N 3 , N 4 } merupakan partisi dari N.

Contoh 5

Diketahui N = {x l x bilangan kelipatan 2}. B1={2,6,10,...},

B2={4,16,18,...}, dan B3={8,12,14,...)

Apakah koleksi (B 1 , B 2 , B 3 ) partisi dari B.

Penyelesaian:

Koleksi {B 1 , B 2 , B 3 } mempunyai sifat:

1. B 1 B 2 B 3 = B

2. B 1 B 2 = , B 1 B 3 = , B 2 B 3 =.

Jadi koleksi {B 1 , B 2 , B 3 } merupakan partisi dari B.

Rifat Ismail

Arsip Blog

Selasa, 04 Desember 2018